Table of Contents
1. Định nghĩa phương trình tham số của một đường thẳng.
Phương trình tham số của một đường thẳng là một cách biểu diễn đường thẳng dựa trên các thông tin về điểm và vectơ chỉ phương của đường thẳng. Phương trình này có dạng t = t0 + u * λ, trong đó t là vectơ vị trí của một điểm trên đường thẳng, t0 là vectơ vị trí của điểm cố định thuộc đường thẳng, u là vectơ chỉ phương của đường thẳng và λ là một số thực.
Để viết phương trình tham số của một đường thẳng, ta cần xác định điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của nó. Sau đó, ta có thể sử dụng công thức t = t0 + u * λ để biểu diễn các điểm khác trên đường thẳng.
2. Công thức tính vectơ chỉ phương của một đường thẳng.
Để tính được vectơ chỉ phương u→ của một đường thẳng, ta cần biết ít nhất hai điểm thuộc đường này. Gọi A(x1, y1) và B(x2, y2) là hai điểm thuộc đường thẳng. Khi đó, vectơ chỉ phương u→ của đường thẳng có các thành phần là (x2 – x1, y2 – y1).
Công thức tính vectơ chỉ phương này dựa trên sự khác biệt giữa tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng. Vectơ chỉ phương u→ cho ta thông tin về hướng di chuyển của đường thẳng.
3. Cách viết phương trình chính tắc của một đường thẳng.
Phương trình chính tắc của một đường thẳng là một cách biểu diễn tiêu chuẩn của đường thẳng dựa trên các thông tin về hệ số góc và hệ số tự do của nó. Phương trình này có dạng Ax + By + C = 0, trong đó A và B là các hệ số góc và C là hệ số tự do.
Để viết phương trình chính tắc của một đường thẳng, ta cần biết ít nhất một điểm thuộc đường và vectơ pháp tuyến của nó. Gọi M(x0, y0) là một điểm thuộc đường thẳng và n→(a, b) là vectơ pháp tuyến của nó. Khi đó, ta có thể sử dụng công thức Ax + By + C = 0 với A = a, B = b và C = -a*x0 – b*y0 để viết phương trình chính tắc của đường thẳng.
Phương trình chính tắc giúp ta xác định các điểm thuộc đường thẳng dựa trên các điều kiện về hệ số góc và hệ số tự do.
4. Ý nghĩa và quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng.
Một đường thẳng được xác định bởi một điểm trên đường thẳng và một vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương cho biết hướng di chuyển của đường thẳng, trong khi vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với đường thẳng.
Vectơ chỉ phương (u→) của một đường thẳng có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định hướng di chuyển của đường thẳng. Nếu hai đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương, tức là chúng di chuyển cùng hướng. Trong khi đó, nếu hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng là trái dấu nhau, tức là chúng di chuyển theo hướng ngược nhau.
Vectơ pháp tuyến (-n→) của một đường thẳng có quan hệ vuông góc với vectơ chỉ phương (u→). Hai vectơ này luôn vuông góc với nhau, điều này có nghĩa rằng tích vô hướng giữa chúng bằng 0: u→ • (-n→) = 0. Điều này đồng nghĩa với việc hai đường thẳng có cùng vectơ pháp tuyến là song song với nhau.
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song (hoặc vuông góc) với một đường thẳng đã cho.
Để viết phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng đã cho, ta cần biết vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho.
– Đối với việc viết phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng đã cho, ta sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho để xác định hướng di chuyển của đường thẳng mới. Sau đó, ta sử dụng điểm đã cho để xác định giá trị cốđịnh trong phương trình để tìm được phương trình cuối cùng.
– Đối với việc viết phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng đã cho, ta sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho để xác định hướng di chuyển của vectơ pháp tuyến của đường thẳng mới. Sau đó, ta sử dụng điểm đã cho để xác định giá trị cốđịnh trong phương trình để tìm được phương trình cuối cùng.
6. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dựa trên các thông tin về vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của chúng.
Để xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng thông tin về vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của chúng.
– Nếu hai đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương, tức là chúng di chuyển cùng hướng. Trong trường hợp này, hai đường thẳng này có thể là song song hoặc trùng nhau.
– Nếu hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng là trái dấu nhau, tức là chúng di chuyển theo hướng ngược nhau. Trong trường hợp này, hai đường thẳng này giao nhau.
– Nếu tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến bằng 0, tức là chúng vuông góc với nhau. Trong trường hợp này, hai đường thẳng này vuông góc vào nhau.
– Nếu tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến không bằng 0, tức là chúng không vuông góc nhau. Trong trường hợp này, hai đường thẳng này không có quan hệ đặc biệt với nhau.
7. Giải bài tập ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(-2; 3) và có vectơ chỉ phương u→ = (1; -4).
Để viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 3) và có vectơ chỉ phương u→ = (1; -4), ta sử dụng công thức sau:
Phương trình đường thẳng d: r→ = r0 + tu→
Trong đó:
– r→ là vectơ vị trí của một điểm thuộc đường thẳng.
– r0 là vectơ vị trí của điểm đã cho M(-2; 3).
– t là một số thực.
– u→ là vectơ chỉ phương đã cho (1; -4).
Thay các giá trị vào công thức, ta có:
Phương trình đường thẳng d: r→ = (-2; 3) + t(1; -4)
Đây là phương trình chính tắc của đường thẳng d.
8. Chuyển dạng từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số hoặc chính tắc của một đường thẳng.
Để chuyển đổi từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số hoặc chính tắc của một đường thẳng, ta cần biết giá trị của các hệ số trong phương trình tổng quát.
– Đối với việc chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số, ta sử dụng công thức sau:
x = x0 + at
y = y0 + bt
Trong đó:
– (x0, y0) là một điểm thuộc đường thẳng.
– a và b là hệ số góc của đường thẳng.
– Đối với việc chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình chính tắc, ta sử dụng công thức sau:
Ax + By + C = 0
Trong đó:
– A, B và C là các hệ số trong phương trình tổng quát.
9. Tính hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng đã cho.
Để tính hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng đã cho, ta sử dụng công thức sau:
H = P – (P • n→)n→
Trong đó:
– H là điểm chiếu của điểm P lên đường thẳng.
– P là điểm cần tính hình chiếu.
– n→ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Việc tính hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng giúp ta xác định vị trí của điểm đó trên đường thẳng.
10.1 Điểm A(x0, y0) thuộc đường thẳng ∆
Khi một điểm A có tọa độ (x0, y0) nằm trên đường thẳng ∆, ta có thể xác định được phương trình của ∆ dựa trên điểm này. Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là ax + by + c = 0, trong đó a và b là hệ số góc của đường thẳng và c là hệ số tự do.
10.2 Hai đường thẳng vuông góc với nhau
Nếu hai đường thẳng song song với nhau, tức là chúng không có điểm chung và không cắt nhau. Trong trường hợp này, vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng sẽ vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng kia.
10.3 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆
Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆, ta cần xác định được hai thông số: hệ số góc a và hệ số tự do c. Cách tính các thông số này phụ thuộc vào thông tin có sẵn về đường thẳng.
– Nếu biết rõ hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2) trên đường thẳng ∆, ta có thể tính được hệ số góc a bằng công thức: a = (y2 – y1)/(x2 – x1).
– Nếu biết rõ một điểm A(x0, y0) nằm trên đường thẳng ∆ và vectơ chỉ phương u→(a; b) của ∆, ta có thể tính được hệ số tự do c bằng công thức: c = -(ax0 + by0).
Sau khi đã xác định được các thông số a và c, ta có thể viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ dưới dạng ax + by + c = 0.
10.4 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Khi hai đường thẳng song song với nhau, chúng có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến. Điều này có nghĩa là nếu biết vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của một trong hai đường thẳng, ta có thể dễ dàng xác định vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia.
Ngoài ra, để xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng khác nhau, ta có thể sử dụng các phương pháp định lý giao điểm, định lý song song hay định lý vuông góc để kiểm tra xem hai đường thẳng có điểm giao nhau, điểm chung hay không.
Tổng kết, phương trình tham số là một công cụ quan trọng trong toán học và khoa học tự nhiên, giúp chúng ta mô tả và hiểu được các mối quan hệ phức tạp giữa các biến số. Việc sử dụng phương trình tham số giúp cho việc giải quyết các bài toán phức tạp trở nên dễ dàng và linh hoạt hơn. Bên cạnh đó, phương trình tham số còn mang lại sự hiểu biết sâu sắc về các khái niệm như đồ thị, lăng kính, và đường tiệm cận. Sự ứng dụng của phương trình tham số là rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, hình học hay kỹ thuật.